Página de ‘Nova Stereometria doliorum vinariorum’ (Kepler, 1635).
matemáticas no suele aparecer juntos muy a menudo. En la viña todavía se utilizan unidades como fanegas, robadas o varas cuya equivalencia en el sistema métrico decimal no es exacta e incluso puede depender de la región.
–Últimamente se encuentran cada vez más bodegas que utilizan nombres y lenguaje matemático para situar sus caldos. Algunos de mis colegas las coleccionan. Ahora las matemáticas gozan de buena publicidad y también de buen sabor –añadí.
–Conozco un vino toledano, Correcto, que porta una etiqueta con sumas y sin errores –continuó Pilar, enóloga enamorada de su profesión–. También hay un Teorema de la comarca de Calatayud que se identifica con un dibujo imposible y existe un 2ór, que es de la comarca tarraconense del Priorato.
–Aparte del nombre y de las etiquetas, existen más conexiones entre matemáticas y el vino –decidí aportar a la conversación. Un tema interesante es el cálculo de volúmenes ¿Sabías que una copa cónica llenada hasta el 80% de su altura solo es el 50% de su capacidad total? A simple vista parece que está muy llena, cuando en realidad está solo a la mitad de su volumen.
–Por eso cuando bebo cava siempre necesito otra copa más –bromeó Pilar.
–Todo se debe a la forma geométrica del cono –continué, tomando un bolígrafo y una servilleta de papel. Un cono de altura h y radio de la base r se puede obtener al rotar un triángulo rectángulo de catetos r y h, siendo el eje de rotación el cateto h. El volumen del cono que se obtiene es
V= ór2h. Si lo llenamos hasta cierta altura h’ y radio r’, se cumple que los lados (h’, r’) están en proporción con (h, r) y se cumple la igualdad siguiente:
Fácilmente se tiene que XXX, y por lo tanto h’ es aproximadamente el 80% de h. Es curioso que no depende de r. Esta situación no se da con otros recipientes, por ejemplo con un cilindro, esto es, un tubo de cerveza. Por cierto, ¿por qué las botellas estándar de vino son de 750 ml? –pregunté para cambiar de tema, aunque la respuesta me devolvió al mundo de los números.
–Desde la viña sabemos que de 1 kg de uvas se obtienen aproximadamente 750 ml de vino. Creo que fue en el siglo XIX y desde Burdeos, con un sistema métrico decimal bien asentado, donde se impuso la exportación a la Inglaterra Imperial de barriles de 225 litros. Con esta capacidad se podían rellenar 50 galones británicos. Con la implantación de botellas para el transporte del vino, se decidió tomar el volumen de 750 ml que permitía la equivalencia de 300 botellas por barril y 6 botellas por galón, como las cajas de vino que actualmente vendemos. Aunque hay otras explicaciones, sé que ésta te iba a gustar.
–Sí, es muy bonita y muestra la importancia de los números en la vida. Conozco otra anécdota sobre barriles y volúmenes. El gran científico Johannes Kepler en su segunda boda, en 1613, compró un barril de vino para el banquete. A la hora de calcular el volumen del vino consumido, Kepler se fijó en la forma en que el mercader lo hacía. Este introducía una varilla desde un orificio a la mitad de la altura del barril hasta el lado opuesto de una de las bases. Tomando solo esta diagonal, que denotamos d, calculaba el volumen. El método enfureció a Kepler ya que a iguales valores de d, y con la aproximación de barriles cilíndricos, se podía encontrar volúmenes muy diferentes, cambiando las dimensiones del barril.
–¿Y qué hizo para evitar el fraude? –se interesó Pilar
–Decidió estudiar el problema y dos más tarde publicó ‘Nova Stereometria doliorum vinariorum’ (‘Una nueva estereometría de las barricas del vino’) donde determinó cuál era el barril (cilíndrico) que tenía mayor volumen para un
¿SABÍAS QUE LO QUE CABE EN UNA COPA CÓNICA LLENA HASTA EL 80% DE SU ALTURA SOLO ES EL 50% DE SU CAPACIDAD TOTAL?
valor fijo de la diagonal d. Era aquel que cumplía que su altura era igual XXX. Este es un problema de optimización clásico que ahora hacemos con derivación y localización de máximos y mínimos. Kepler lo resolvió 50 años antes de que Newton y Leibniz discutiesen sobre la paternidad del cálculo diferencial. En el texto, y siguiendo algunas de las ideas del gran Arquímedes, soluciona otros problemas interesantes sobre el cálculo de áreas o volúmenes, siendo uno de los precursores del cálculo integral. Por ejemplo, determina las dimensiones del cilindro de mayor volumen inscrito en una esfera de radio r.
Y justo en ese momento, era Pablo quien intentaba inscribir la cabeza de su primo Marcos en una caja de cartón de vinos. Momento de irnos, llevándome el obsequio que todavía hoy conservo. Me temo que nunca llegaré a descorchar a
PEDRO J. MIANA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS, IUMA & FACULTAD DE CIENCIAS, UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA